ラッセル の パラドックス。 床屋のパラドックス

ラッセルのパラドックスの簡単な解説と例

ラッセル の パラドックス

ラッセルのパラドックスとは ラッセルのパラドックスとは、自身を要素として含まない、集合全体の集合を仮定した時に生じる矛盾のことです。 例えば、A以外の全てのアルファベットを含む集合を「A」と定義した時、集合としての「A」自身を、集合としての「A」に含めるべきかという問題が生じます。 集合としての「A」自身を、集合としての「A」に含める場合、集合としての「A」の定義である「Aを含まない」に違反してしまいます。 一方で、集合としての「A」自身を、集合としての「A」に含めない場合も、「A以外の全てのアルファベットを含む」という集合としての「A」の定義に違反します。 結果として、どちらに捉えても最初に定義したルールに違反するため、矛盾が発生するのです。 抽象的でわかりづらいので、簡単な例を挙げて考えてみましょう。 不在市長のパラドックス 自分が市長をしている市に住んでいない市長を「不在市長」と呼ぶことにします。 不在市長が集まってひとつの市「不在市長市」を作ることになりました。 その市には不在市長だけが住んでおり、全ての不在市長が住みます。 このとき、不在市長市の市長Aは、どこにも住むことができなくなっていまいます。 市長Aが不在市長市に住むと、市長Aは自らが市長をしている市に住むため不在市長ではなくなり、「不在市長市は不在市長 のみが住む」というルールに矛盾します。 また、市長Aが不在市長市以外の市に住むと、市長Aは自らが市長をしている市には住んでないため、不在市長となりますが、「不在市長市には すべての不在市長が住む」というルールに矛盾してしまいます。 よって、 不在市長のみが住む不在市長市は定義不可能であることがわかります。 理髪師のパラドックス 別の例としては、理髪師のパラドックスがあります。 ある村でたった一人だけ理髪師がいるとします。 その理髪師は、自分で髪を切らない人全員の髪を切り、それ以外の人の髪は切りません。 この時、理髪師自身の髪は誰が切るのかを考えると、矛盾が生じます。 理髪師が自分の髪を切らないとするならば、理髪師は自分で髪を切らない人となり、「自分で髪を切らない人全員の髪を切る」というルールに反します。 また、理髪師が自分の髪を切るとするならば、「理髪師は自分で髪を切る人の髪は切らない」というルールに違反します。 よって、「自分で髪を切らない人全員の髪を切り、それ以外の人の髪は切らない」という定義自体が成立しないことがわかります。 集合に関しての興味深い話として、カラスを1羽も調べることなく、全てのカラスが黒いことを証明可能であるとする、ヘンペルのカラスも有名です。

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ラッセルのパラドックス:傾向と対策 (1)

ラッセル の パラドックス

ラッセルのパラドックスとは ラッセルのパラドックスとは、自身を要素として含まない、集合全体の集合を仮定した時に生じる矛盾のことです。 例えば、A以外の全てのアルファベットを含む集合を「A」と定義した時、集合としての「A」自身を、集合としての「A」に含めるべきかという問題が生じます。 集合としての「A」自身を、集合としての「A」に含める場合、集合としての「A」の定義である「Aを含まない」に違反してしまいます。 一方で、集合としての「A」自身を、集合としての「A」に含めない場合も、「A以外の全てのアルファベットを含む」という集合としての「A」の定義に違反します。 結果として、どちらに捉えても最初に定義したルールに違反するため、矛盾が発生するのです。 抽象的でわかりづらいので、簡単な例を挙げて考えてみましょう。 不在市長のパラドックス 自分が市長をしている市に住んでいない市長を「不在市長」と呼ぶことにします。 不在市長が集まってひとつの市「不在市長市」を作ることになりました。 その市には不在市長だけが住んでおり、全ての不在市長が住みます。 このとき、不在市長市の市長Aは、どこにも住むことができなくなっていまいます。 市長Aが不在市長市に住むと、市長Aは自らが市長をしている市に住むため不在市長ではなくなり、「不在市長市は不在市長 のみが住む」というルールに矛盾します。 また、市長Aが不在市長市以外の市に住むと、市長Aは自らが市長をしている市には住んでないため、不在市長となりますが、「不在市長市には すべての不在市長が住む」というルールに矛盾してしまいます。 よって、 不在市長のみが住む不在市長市は定義不可能であることがわかります。 理髪師のパラドックス 別の例としては、理髪師のパラドックスがあります。 ある村でたった一人だけ理髪師がいるとします。 その理髪師は、自分で髪を切らない人全員の髪を切り、それ以外の人の髪は切りません。 この時、理髪師自身の髪は誰が切るのかを考えると、矛盾が生じます。 理髪師が自分の髪を切らないとするならば、理髪師は自分で髪を切らない人となり、「自分で髪を切らない人全員の髪を切る」というルールに反します。 また、理髪師が自分の髪を切るとするならば、「理髪師は自分で髪を切る人の髪は切らない」というルールに違反します。 よって、「自分で髪を切らない人全員の髪を切り、それ以外の人の髪は切らない」という定義自体が成立しないことがわかります。 集合に関しての興味深い話として、カラスを1羽も調べることなく、全てのカラスが黒いことを証明可能であるとする、ヘンペルのカラスも有名です。

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バートランド・ラッセルにまつわる逸話5つ!パラドックスで有名な哲学者

ラッセル の パラドックス

さんのところで話題になっていたので。 普通、な本でル・の紹介をすると、「包括原理 the comprehension principle が悪いのです、だからZFが建設され問題が解決されました、めでたしめでたし」という結論になってしまうのですが、それは間違っています。 それ以外にもいろいろな解決法が提案されていて、どれも一長一短があります。 さて、Fefermanによれば、ル・の解決法は、以下のように分類することができます。 Restriction of syntax: つまりル集合の定義文は「文法違反」だ、というもの• Restriction of logic: つまりはのせいだ、だからを制限/変更しようというもの• Restriction of basic principles: つまり包括原理が問題だ、というもの 反復的集合観 この種の体系で最も有名なのはもちろん ZF および ZFC でしょう。 これらの体系の根ざしている集合観は以下のようなものです。 反復的集合観 集合は、既に集合であることが保証されているような集合に、ある許された種類の操作(「和集合をとる」など常識的に許されそうなもの)を加えることで構成されるものである。 ル・の本質は、ル集合「 自分自身を含まない集合の集合」の 自己言及性(「自分自身」に言及している)にあり、包括原理の問題点はこのような自己言及的な集合を許してしまうことにある、という分析がこの集合観の元になっています。 この場合、自分自身が自分自身の要素とならなくても、何の矛盾も生じません。 しかしル集合、つまり「自分自身を要素として含まない 全ての集合の集合」は、全ての集合が定義された後に定義されなければならないはずですが、そのときはル集合自身も定義されているはずで、これは矛盾です。 このように反復的集合観はル集合の定義に必要な自己言及性を排除します。 ZFC ル・の分析という文脈における、ZFCを研究することの意義は、• 包括原理のサブセットで、矛盾を起こさない(ル集合の存在を認めない)ぐらいには弱い体系でありながら、どれだけ現を展開できるかを教えてくれる• 包括原理なしで流の高階の無限に関する理論を展開できる ということでしょうか(もっとあると思いますので、ご存知の方はご一報ください)。 体系 ZFCの利点は• 多分無矛盾であるらしいこと(数十年にわたって、多くの優秀な研究者が矛盾を見つけようとしたが、誰も矛盾を見つけていない)• 古典的数学(と大抵の現代的数学)がここで展開できるので、「数学の基礎」と呼ばれうる体系であること• 数学的に面白いこと、とくにや実数上のを研究する上で面白い現象が起こること そしてZFCの問題は• 自己言及的な現象を取り扱えないこと:たとえばでは圏全体は圏をなしますが、ZFでは集合全体の集まりは集合ではない• 上のような意味で、現代的な数学や計算機科学の基礎というには少しであること• 他に、計算機科学者にとっては集合と証明や計算概念との直接的なつながりが見えないのであまり役に立たない、哲学者にとっては無限基数のような数学的対象がいかなる意味で「存在」しているのか解釈するのがとても難しい、etc. という点があげられます。 ZFA もちろん下では全ての体系が自己言及性を表現できない、という訳ではありません。 例えば限定的な表現として、計算機科学等で扱う「 有限的な自己言及サイクル」に関しては、ZFの Foundational Axiom を外して、かわりに以下の公理を加えた体系 ZFAを考えることで表現できます。 ただし、ル集合などは定義できません。 この点が下での整合性を保証するのですが、私はこの点が自己言及性を表現する理論としては弱い点であると考えます。 の下での自己言及性の極限? またと自己言及性に関する補足ですが、さんのご紹介のあったNFのバージョンにNFUというものがあります。 驚くべきことに、NFUは「集合全体の集合」のような「悪さをしない」自己言及的な無限集合の存在も保証します。 私の知っている限りでは、下で自己言及性を最も深く保持していますが、そのせいかNFの無矛盾性の証明に関して難しい問題があります。 詳細は か Holmes, M. 1998 をどうぞ。 時間が遅くなってしまったので、今日はここまで。 次回は"Restriction of syntax"、つまり的な解決策をご紹介します。

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